Solve Inverse matrix as soon as possible
inverse matrix를 0.01초라도 빨리 풀게 된다면, 시스템의 solution을 빨리 구할 수 있기 때문에
예를 들어, 주식 시장을 예측한다와 같이 돈이 되는 일들에 대해서 inverse matrix를 얼마나 빨리 푸는 알고리즘을 개발을 하느냐가 아주 큰 관건이다.----> 응용수학과에서 많이 하는 연구!
Consistent Vs Inconsistent
- Determinant = 0 ---> Inconsistent System --> No solution or infinite solutions
- Determinant ≠ 0 ---> Consistent System --> Unique solution
특히 Upper Triangular Matrix에서는 Determinant를 구하기 쉽다.
--> 대각선에 있는 element들을 다 곱하면 된다!
* 실제 물리 현상, 안구 simulation, 귀 simulation, 딥러닝.. --> 간단한 식은 아니지만 원리는 system of linear algebraic equation과 비슷!
* General Solution vs Trivial Solution
- Trivial Solution은 General Solution 중 하나
- 예를 들어, x=s, y=4-2s, z=s라 할 때
- (s, 4-2s, s) : General Solution
- if, s=0; (0, 4, 0) : Trivial Solution
A homogeneous system of linear algebraic equation is one of the form(Special)
- AX = B 라는 게 Systems of linear algebraic equation의 일반 형태라고 하면, A homogeneous system of linear algebraic equation(B=0인 형태)은 eigenvalue를 공부할때 중요한 형태이다!
- homogeneous : '같다', 무엇이 같냐 : 우변이 다 'zero'로 같다!
A homogeneous system AX=0 is always consistent.
- (x1, x2, ... , xN) = (0, 0, ... , 0) : Trivial Solution
- (x1, x2, ... , xN) = (0, 0, ... , 0) is a solution, no matter what A is.
- 위와 같이 항상 solution이 있기 때문에 항상 Consistent이다!(다만 해가 무수히 많은지 unique한지는 따져봐야함)
- A | 0 ---> U(Upper triangular matrix) | 0 : 해를 구하기 위해 AX=0을 UX=0으로 변환을 했을 때 우변도 그대로 0이 되고, 따라서 변환 후에도 homogeneous system이 된다!
- Depending on what A is, the homogeneous system AX=0 has either only one (unique) solution given by X=0 or infinitely many solutions (one of which is X=0)
- infinitely many solutions (one of which is X=0)인 경우가 훨씬 많다!
Vector Space
- Definition : An N-th dimensional vector is a well-ordered set of N real numbers written in the form (x1, x2, ... , xN)
The set of all N-th dimensional vectors forms a vector space denoted by R^N
- For example, R^3 is the set of all three-dimensional vectors and (-1, 0, 2) is a member of R^3, that is, we write
(-1, 0, 2) ∈ R^3
- We can think of solutions of a linear algebraic equation in N unknowns as vectors in R^N.
Linear combination of vectors
- Let u and v1 , v2 , …, vK−1 and vK be vectors in R^N
- We say that u is a linear combination of v1 , v2 , …, vK−1 and vK if we can find real numbers a1 , a2 , …, aK−1 and aK such that u = a1 v1 + a2 v2 + … +aK−1 vK−1 + aK vK
'Linear Algebra > Basic_LinearAlgebra(KAIST 기계공학과 윤용진 교수님)' 카테고리의 다른 글
Linearly independent & inverse of a square matrix (0) | 2022.06.25 |
---|---|
Determinant of Square Matrix and Eigenvalue Problem (0) | 2022.06.20 |
Diagonalisation problem & Applications (0) | 2022.06.20 |
Week 2 : Introduction of Linear Algebra (0) | 2022.06.19 |
Week 1 : Introduction of AI (0) | 2022.06.19 |